Поле бесконечной нити

Поле бесконечной нити

Линейная
плотность заряда



– заряд, приходящийся на единицу длины:

Следовательно,

.

Разность потенциалов
между точками 1

и 2

поля, лежащими на расстоянии r
1

и r
2

от оси цилиндра:

3.
Поле заряженной сферической поверхности

Видно, что выражение
для
получилось таким же, как и для точечного
заряда.

Разность потенциалов

Шар, представляющий
собой диэлектрик, может быть внутри
равномерно заряжен с объемной плотностью

.
Поток векторачерез поверхность радиусомr

R

(R

– радиус шара) равен

Заряд
внутри сферы радиусомr
равен:

.

По теореме Гаусса

и

За пределами
равномерно заряженного шара выражение
для E
A

будет таким
же, как и полученное нами для полой сферы

,
только величинаq
будет
равняться
V
:

Разность потенциалов
для точек, лежащих на расстоянии r

R

от центра шара:

и для точек, лежащих
на расстоянии r

R

от центра шара:

2. Проводники в электрическом поле.

Проводниками



называют тела, которые хорошо проводят
электрический ток, в которых есть
свободные электрические заряды, способные
перемещаться по всему объему проводника.

Условия
равновесия зарядов на проводнике:

Найдем величину
E

вблизи поверхности проводника: проведем
цилиндрическую поверхность сечением
dS

с образующей, перпендикулярной
поверхности проводника и параллельной
вектору
.
По теореме Гаусса:

,
т.к поток только через одно основание
цилиндра.

Отсюда:

Поскольку внутри
проводника E
=0,

а в непосредственной близости от
поверхности
,
то это значит, что при переходе из
проводника в пространство за проводником
(в воздух) значениеизменяется от 0 до.

Среднее значение
напряженности поля на поверхности
проводника получается равным:

Сила, с которой
поле проводника действует на заряд,
расположенный на его поверхности dS
,
равна:

Давление, испытываемое
поверхностью проводника и обусловленное
избыточными зарядами на его поверхности,
равно:

При помещении
незаряженного проводника в электрическое
поле имеющиеся на нем заряды приходят
в движение – на противоположных
поверхностях возникают избыточные
электрические заряды противоположных
знаков.

Возникающие на
поверхности заряды создают свое поле,
которое в точности равно внешнему, но
противоположно по направлению – внутри
проводника (в полости) поле отсутствует.

Перераспределение
зарядов в проводнике под действием
внешнего поля происходит до тех пор,
пока силовые линии не окажутся
перпендикулярными поверхности проводника.

Равенство нулю
напряженности поля в полости проводника
используют для реализации электрической
защиты, причем оказалось, что электрическая
защита получается достаточно хорошей
не только в случае сплошной металлической
оболочки, но и в случае использования
мелкой металлической сетки.

Соединение
проводником какого-либо тела с землей
называют заземлением. При заземлении
заряженных проводников, в том числе и
тела человека, они теряют заряд и их
потенциал будет равен потенциалу земли.
Заземление корпусов приборов и аппаратов
способствует их безопасной эксплуатации,
т.к. исключает возможность для персонала
оказаться под напряжением корпуса
аппарата и земли.

Рассмотрим
несколько примеров расчёта электростатических
полей с помощью теоремы Гаусса.

1.7.1. Поле бесконечной равномерно заряженной прямолинейной нити

Рассмотрим
равномерно заряженную бесконечно
длинную нить. Линейная плотность заряда
равна .

Заряд,
равномерно распределённый по нити,
обладает симметрией – он симметричен
относительно оси.

Нить
имеет бесконечную длину, поэтому любому
эле-ментарному зарядуdq
1
можно сопоставить другой элементарный
заряд dq
2 ,
расположенный симметрично относительно
некоторой точки в электростатическом
поле.

Поскольку
расстояние от эле-ментарных зарядов до
этой точки одинаково, модули напряжён-ностей
Е

1
и Е

2
одинаковы. Поэтому результирующая
напряжённость

Е


= Е

1 +Е

2
направлена перпен-дикулярно нити (см.
рисунок).

Очевидно,
что и в других точ-ках, расположенных
на таком же расстоянии от нити,
напря-жённость будет иметь такую же
величину и направление.

Элементарные
заряды и точка в поле были выбраны
случайно, поэтому вывод справедлив как
для всех остальных элементарных зарядов,
так и для всех точек поля.

Это
означает, что электрическое поле,
созданное заряженной нитью, симметрично
относительно оси нити. Другими словами
– симметрия поля тождественна симметрии
заряда, создающего поле.

Таким
образом, векторы напряжённости во всех
точках окружающего пространства
перпендикулярны нити и модули напряжённости
на одинаковых расстояниях от нити
одинаковы.

Расчёт
напряжённости поля с помощью теоремы
Гаусса следует начинать с получения
выражения для потока вектора Е

.

В
свою очередь, выражение для потока
следует начинать с выбора формы замкнутой
поверхности и её положения относительно
источника поля.

Расчёт потока
будет максимально прост, если выбрать
такую поверхность, симметрия которой
идентична симметрии создаю-щего поле
заряда.

В данном случае
удобно пользоваться замкнутой поверхностью
с осевой симметрией.

Такой
поверхностью является цилиндр, ось
которого совпадает с нитью. Пусть высота
цилиндра равна l
,
а радиус основания – r
.

Поток
вектора напряжённости поля, созданного
нитью, складывается из потока через
торцевые поверхности цилиндра и потока
через боковую поверхность.

Поток
через торцевые поверхности равен нулю,
так как векторы напряжённости
перпендикулярны нити и, соответ-ственно
угол между векторами Е


и n


равен 90 0,

.

Поток через боковую
поверхность

.

Поскольку
все точки боковой поверхности расположены
на одинаковых расстояниях от нити,
модули напряжённости во всех точках
боковой поверхности цилиндра одинаковы,
т. е.

.

Таков
вид выражения для потока вектора
рассчитываемой напряжённости.

Следующий этап
вычисления напряжённости электро-статического
поля – расчёт суммарного заряда,
охваченного замкнутой поверхностью.

Заряд,
охваченный поверхностью s
,
можно найти так:

.

Тогда, по теореме
Гаусса,

.

.

Таким образом,
напряжённость электрического поля,
создан-ного равномерно заряженной
нитью, прямо пропорциональна линейной
плотности заряда нити и обратно
пропорциональна расстоянию от нити до
интересующей нас точки.

Обратите внимание
– напряжённость обратно пропорцио-нальна
первой степени расстояния от нити
(напряжённость поля точечного заряда
обратно пропорциональна квадрату
расстояния от заряда).

Страница 2 из 4

21. Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд, равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля на расстоянии r = 1 м от провода.

22. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом R 1 = 1,5 мм заряжен с линейной плотностью τ 1 = 0,2 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом R 2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью τ 2 = – 0,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (ε = 3). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) r 1 = 1 мм; 2) r 2 = 2 мм; 3) r 3 = 5 мм.

23. Электростатическое поле создается положительно заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м 2 бесконечной плотностью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?

24. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью τ = 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 2 см до r 2 = 1 см?

25. Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной a
= 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы.

26. В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой орбите радиусом r = 52,8 пм, в центре которой находится протон. Определить: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра, выразив её в электрон-вольтах.

27. Кольцо радиусом r = 5 см из тонкой проволоки несет равномерно распределенный заряд Q = 10 нКл. Определить потенциал φ электростатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние a
= 10 см от центра кольца.

28. На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1м равно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.

29. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд Q =
10 нКл. Оп потенциал φ
электростатического поля: 1) на поверхно шара; 2) на расстоянии a
= 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости φ(r).

30. Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Определить радиус шара, если потенциал в центре шара равен φ 1 = 200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии r = 50 см, φ 2 = 40 В.

31. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определить числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии r = 10 см от заряда потенциал равен φ = 100 В.

32. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ =
5 нКл/м 2 Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.

33. Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью заряженной равномерно с линейной плотностью τ = 50 пКл/см. Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии r =
0,5 м от нити.

34. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния r 1 = 5 см и r 2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.

35. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряженности с расстояния r 1 = 1 см до r 2 = 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с Определите линейную плотность заряда нити.

36. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью сигма = 1 нКл/м 2 . Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии x 1 = 20 см и x 2 = 50 см от плоскости.

37. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм.

38. Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе поверхностью радиусом R = 10 см с общим зарядом Q = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях r 1 = 5 см и r 2 = 15 см от поверхности сферы.

39. Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью сигма = 1 нКл/м 2 . Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r 1 = 10 см и r 2 = 15 см от центра сферы.

40. Электростатическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R=1 м с общим зарядом Q = 50 нКл. Определите разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях 1) r 1 = 1,5 м и r 2 = 2 м; 2) r 1 «= 0,3 м и r 2 » = 0,8 м.